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農 曆 法 則 之 疑 惑

初稿: 2018年10月       最近一次重大修訂: 2019年4月

看了農曆的編算法則後，也許讀者會感到疑惑:為什麼要這樣編制農曆?

陰陽曆的重點是既要考慮月亮盈虧週期(朔望月)，也要照顧季節交替週期(回歸年)。法則三顯然是為了照顧月相。把朔日定為初一，保證初一看不見月亮，農曆月的各日也大致有相同的月相，例如望(滿月)發生在每月的十六日左右。法則四和法則五則是為了使農曆月份不偏離季節。把冬至定在十一月，保證十一月是冬天，因此十一月又稱「冬月」。但是冬至與月相無關，某年的冬至可以發生在朔日，另一年卻可以發生在朔日前一天(又稱「晦日」)。結合法則三，可推斷冬至可以在十一月初一，也可以在十一月最後一日。所以冬至在農曆有三十天的浮動，而在公曆只有三天浮動。

順治二年(1645年)曆法改革前，農曆的月份與中氣有一一對應關係，例如正月必含雨水，二月必含春分等。順治曆改後，這樣的對應關係仍然在大多數時候成立，但會有少數例外，這點在二十四節氣網頁有詳細說明。然而即使在那些少數例外裡，中氣也只是偏離了對應月份僅僅一天而已，因此可以說所有中氣在農曆有約三十天的浮動。所有二十四節氣在公曆裡只有三天浮動，比農曆小得多，這是農曆要兼顧陰陽兩週的代價。

中國在春秋戰國時已發現235(=19×12+7)個朔望月與19個回歸年的時間非常接近，於是採用十九年七閏法編制農曆，即在十九個農曆年裡放置七個閏月。古時稱十九為章歲，七為章閏。後人把章歲和章閏合稱為閏週。

有不少書籍和文章說農曆用十九年七閏法來兼顧陰陽兩週，談到如何在十九年裡加七個閏月時就說以無中氣的月份定為閏月。或許讀者會感到疑惑:以無中氣定閏月為什麼能保證在十九年裡置七個閏月?答案是「不能保證」!首先，「無中氣」置閏法在順治曆改後已廢除，在現行置閏法則下，無中氣的月份雖然大多數確是閏月，但有少數例外。再則十九年七閏法其實在南北朝末期到隋唐間基本上已廢除，原因是19個回歸年比235個朔望月短約二小時，用十九年七閏法制定的曆法(例如猶太曆)在228年會有一日偏差。

戰國至魏晉期間中國的曆法確是採用十九年七閏法，自漢武帝太初元年(公元前104年)起開始採用無中氣法設置閏月。唐朝以前的曆法用平朔法計算合朔，即假設月亮和太陽在天空運行速度是均勻的，兩合朔之間的時間間隔是常數。南北朝以前的曆法一般採用的回歸年與朔望月的比例是235:19，所以19歲正好有235個月。每歲有12個中氣，19歲就有228個中氣，235=228+7，所以有七個月不含中氣，因此以無中氣法置閏能保證十九年有七個閏月。

後來因觀測精度提高，發現十九年七閏法稍嫌粗糙，於是廢棄了回歸年:朔望月=235:19的比例。例如南北朝時期祖沖之創制的《大明曆》實行三百九十一年一百四十四閏，具體做法是取回歸年:朔望月=4836:391，4836 = 391×12 + 144，用無中氣法置閏得391年144閏。這稱之為「破章法」，即打破章閏之法，第一部採用破章法的曆法是《玄始曆》(600年221閏)，由北涼國太史著，在北涼行用了28年，在北魏行用了71年。到了唐朝，合朔計算改用定朔，兩合朔的時間間隔不再是常數，到了清朝，連二十四節氣也改用定氣法計算，兩中氣的時間間隔也不再是常數，無中氣法也要修改成現行的置閏法，這樣更不能保證十九年有七個閏月。

雖然閏週只是近似週期，細看按現時置閏法則的閏月分佈，不難發現閏月規律大致符合十九年週期。下表列出從農曆N₁₉₃₀到N₂₅₀₀幾百年間的閏月，分三十行每行七欄排列，每行代表一個閏週的閏月。如前述，法則一在1929年才實施，所以表列的年份從1930年起，以確保所列的閏月都是按相同法則而定。

從表中可見閏月確是大致符合十九年週期，例如每一欄的年份確是大多數相差十九年，但有若干例外。粉紅色的方格表示閏月的年份偏離了十九年的規律，例如第三閏週的最後一個閏月早了幾個月出現。每一欄的閏月也大致上閏同一個月，但也有例外。黃色方格表示閏月出現的月份「錯了」，意思是說閏月的月份與其在此欄的其他閏月有頗大偏差。例如在第六閏週裡，N₂₀₃₃的閏月出現在閏十一月，而該欄的其他閏月一般是閏七月、閏八月或閏九月。有趣的是第四欄的閏月在第十七閏週前一般是閏七月、閏八月或閏九月，出見了一連串「錯誤」的閏月後，索性「錯到底」，到了第十七閏週以後改為閏正月、閏二月或閏三月。這些偏離閏週的「異常情況」顯示了閏週只是閏月的近似週期，要使農曆不偏離陰陽兩週，在幾百年內需要有若干閏月打破閏週的規律。

從表中可見自1930年後閏正月會首次出現在N₂₂₆₂，其實這是自順治曆改(1645年)後首次出現的閏正月，這點在前新加波國立大學數學系教授Helmer Aslaksen(現任挪威奧斯陸大學副教授)撰寫的中國曆法中的數學一文中指出，我的獨立計算與他的結果相符。

最後要指出目前不能很準確計算幾百年後的朔和二十四節氣的UTC+8時刻，這是因為地球自轉不均勻，以致難以準確預測幾百年後會有多少閏秒加到UTC上。公元2200年後的時間計算或會有幾分鐘誤差，如果朔或節氣時間發生在離午夜零時幾分鐘之內，朔日和節氣日期或會有一日偏差，這一日之差一般不會影響閏月的編排，但在少數的情況下或會改變閏月，所以上表列出的數據可能有一兩個會有錯，但不會影響閏月的整體分佈。

乍看農曆編算的法則，似乎不易從中推出農曆年和農曆月的平均週期。其實要估計農曆年月的平均日數不難:農曆月的平均長度應接近朔望月的平均值29.530589日，而農曆年的平均長度應接近回歸年365.2422日。這估計是用反證法而得。假設農曆月的平均長度與朔望月的平均值有頗大偏差，則朔的平均時刻在農曆月裡會漸漸漂移，最終會漂離初一日，但這與法則三相悖，所以原先的假設不成立。同理，假設農曆年的平均值頗大地偏離回歸年，則冬至的平均時刻在農曆十一月會漸漸漂移，最終會漂離十一月，但這與法則四相悖，所以原先的假設不成立。這樣的論述只是估算而不是嚴格證明，其一是因為平均值的運算沒有準確界定，其二是朔望月平均值和回歸年都隨時間而變。

這裡再展示好一點的計算。用F_Y+k(k是整數)表示農曆年N_Y+k正月初一UTC正午的儒略日數(所以F_Y+k是整數);用W_Y+k表示在公曆Y+k年冬至時刻的儒略日數(所以W_Y+k一般不是整數);設定ΔF_Y+k=F_Y+k - W_Y+k-1，是從Y+k-1年的冬至到農曆年N_Y+k正月初一UTC正午的日數。農曆年從N_Y到N_Y+n這n年的平均日數是

Y = (F_Y+n+1 - F_Y) / n = (W_Y+n - W_Y-1) / n + (ΔF_Y+n+1 - ΔF_Y) / n

(W_Y+n - W_Y-1) / n 是兩冬至在Y-1到Y+n年間的平均日數，這個平均值接近回歸年。正月初一是在冬至後的第二或第三個朔日，所以|ΔF_Y+n+1 - ΔF_Y|必定少於某常數U。已知正月初一在公曆的1月20日和2月20日之間浮動，冬至在公曆12月21日到12月23日左右浮動，所以U應接近30日。U的確實數字不重要，重要的是U是有限的。所以當n增加，|ΔF_Y+n+1 - ΔF_Y| / n 就會越來越少，從而推出農曆年的平均日數接近回歸年。用類似的方法可以得出農曆月的平均日數接近朔望月。

現在來看看實際數據。據我的計算，從N₁₉₂₉到N₂₂₀₀這272農曆年間有99340日，所以農曆年在這272年的平均日數是99340/272=365.22日，比回歸年短約半小時。然而農曆年長度年年不同，其日數在353日與385日之間，標準偏差是14.31日。意味著平均值會隨所取平均的年份而有所變化。例如農曆年在N₁₉₂₉到N₂₁₉₉這271年間的平均日數是365.262日，在N₁₉₂₉到N₂₁₉₈這270年間的平均日數是365.1926日，這些變動主要來自(ΔF_1930+n - ΔF₁₉₂₉)/n這項隨著n變化而產生的變動，這變化會隨取平均的年數增加而降底至零。下圖顯示農曆年在N₁₉₂₉到N_Y的平均日數隨著Y由2150到2200的變化。

可見農曆年的平均值在365.16日到365.28日之間變動，這就是取270農曆年左右的平均值的結果，要減少平均值的變化，可取更多農曆年的平均值。下圖顯示農曆年在N₁₉₂₉到N_Y的平均日數隨著Y由2878到2928的變化。取平均值的農曆年數高達一千。

圖中可見農曆年數目增加到一千左右時，其平均日數在365.224日與365.255日之間變動，變化幅度小了約四倍。這正與預期的一致，因為變動幅度應與n成反比，此處n是取平均的年數。農曆年的平均日數確是接近回歸年365.242日。

現在再看農曆月的平均日數，從N₁₉₂₉到N₂₂₀₀這272農曆年間有3364個農曆月(包括閏月)，前面說過這272農曆年有99340日，所以農曆月在這3364個月的平均日數是99340/3364=29.5303日。為了知道這個平均值隨月數的變化，下圖顯示農曆月在N₁₉₃₀起算的第一個月到第M個月的平均值隨著M由3300到3364的變化。

圖中可見農曆月平均值的變化遠少於農曆年的平均值變化，這是由兩個因數造成。其一是農曆每月的日數變化只有一日(二十九日或三十日)，其二是現在在取幾千個數的平均值，而不是幾百個數的平均值。農曆月在這三千幾個月的平均日數在29.5300日和29.5306日之間變動，確是接近朔望月的平均值29.530589日。

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