春 秋 魯 國 曆 法 的 復 原 方 法

初稿: 2019年3月

遠古時期，中國的曆法根據觀測天象而制定，到了春秋時期(公元前722年–前481年)，人們初步掌握了計算月相的方法，開始推步曆法。春秋時期各國施行不同曆法，可惜這些曆法全部散失，現在我們只能從《春秋》這部由孔子修訂的魯國編年史書中獲得當時魯國施行曆法的不完整資料，這裡稱當時魯國的曆法為春秋曆。

本網頁介紹春秋曆的一個復原方法，這方法是根據張培瑜、陳美東、薄樹人和胡鐵珠著的《中国古代历法》(中国科学出版社‧北京‧2008年3月)書中第三章第五節的資料。該書的前言說書中各章節由四人分別執筆，第三章由張培瑜撰寫。張培瑜是中國科學院紫金山天文臺的研究員。

根據張培瑜的考證，春秋曆的朔策(即朔望月)在29.5306703日和29.5306755日之間，計算時可用30328/1027日 = (29 + 545/1027)日 = 29.53067186日。此朔策與當時的朔望月平均值(29.530583日)頗為接近，比戰國時代古六曆的朔策(29+499/940)更準，累積九百年才會有一日之差。唐朝以前的曆法都以平朔法計算合朔時刻，即假設太陽和月球以均勻的速度在天空運行。所以只要知道了其中一個合朔時刻，其他合朔時刻只須加上朔策的整數倍即可求得。

根據張培瑜的春秋曆還原法，春秋曆推算魯隱公元年(公元前722年)正月初一的朔日在冬至之後的第一個辛巳日，合朔時刻離辛巳日子正(即午夜零時)有268/1027日。用公曆和現在的時間系統表示，這個推算時刻是公元前722年1月16日06:16。當時不知道各地有各自地方時，所以這時刻可視為魯國當地(山東曲阜)的地方時。古代計算不用十進制小數，日的小數部分(奇零)以分數表示稱為小餘。因此268/1027就是這個朔的小餘，由於此朔對應正月初一，可稱為正朔小餘。小餘也可視為合朔在當日的時間以日的分數表示，用現行的24小時制，小餘268/1027就是6:15:46(6時15分46秒)。根據平朔法，下一個合朔時刻離辛巳日子正有(268/1027 + 29 + 545/1027)日=(29 + 813/1027)日，所以二月朔離辛巳日子正的日數是29、小餘813，此後提及小餘時略去分母1027。用同餘算術很容易求得二月初一的日干支:天干十日一週期，29 = 30 - 1，所以辛巳日29日後的日干是辛之前的天干，即庚;地支十二日一週期，29除以12餘5，巳之後的第五個地支是戌;所以二月初一的日干支是庚戌。公曆日期也容易計算:1月(16+29)日 = 2月(16+29-31)日 = 2月14日。

春秋曆的合朔時刻可用以下公式表示:

M_i = M₀ + i (29 + 545/1027)日     (1)

此處M₀是某一合朔時刻，可以定為魯隱公元年的正月朔時刻，i是從M₀算起的朔望月數。

為方便成見，此處用N_Y表示正月初一最接近公曆Y年1月1日的春秋曆年份。例如N_-721指魯隱公元年，始於公元-721年(即前722年)1月16日、終於-720年1月4日。如果知道了從魯隱公元年的正月到某春秋曆年N_y正月的累積月數A(y)，則N_y正月合朔時刻Z(y)是

Z(y) = M₀ + A(y) (29 + 545/1027)日    (2)

只要知道積月A(y)，春秋曆年N_y的正月初一便求得，N_y的其他月份也可輕易計算。積月A(y)可用遞歸公式計算:如果N_y沒有閏月，則N_y+1正月的積月是A(y+1)=A(y)+12;如果N_y有閏月，則N_y+1正月的積月是A(y+1)=A(y)+13。按定義A(-721)=0，所以如果知道春秋曆所有的閏月資料就可以計算各年的日曆。

春秋曆並沒有固定的置閏法則，當時是靠觀測天象與日曆的差異來決定該年是否要設閏月，春秋曆的閏月情況現在只能從《春秋》書中的日期記載推斷。張培瑜根據前人和自己的研究製定了春秋曆各年的正朔表，載於《中国古代历法》表3-7。表中載有作者還原春秋曆的正月月建、正朔日干支、正朔小餘和冬至日期，此外還列出清末曆算家王韜《朔閏日至考》的春秋曆正朔以資比較。比較表中的正朔日干支可推出該年是否有閏月，但這樣做比較費時，較簡單的方法是比較表中列出的正朔小餘。

如前述，正朔小餘是正月合朔離朔日子正的時間用分數日來表示，其中基數(即分母)1027往往略去。如果N_y沒有閏月，N_y的正朔小餘K(y)與下一年N_y+1的正朔小餘K(y+1)有以下關係:
K(y+1) = mod(K(y) + 12×545, 1027) = mod(K(y) + 378, 1027)    (3)
如果N_y有閏月，則
K(y+1) = mod(K(y) + 13×545, 1027) = mod(K(y) - 104, 1027)    (4)

這裡mod(X, Y)指X除以Y後所得之餘數。利用這兩條公式來比較表中的正朔小餘，便可輕易推出該年是否有閏月，然後用A(y)的遞歸公式算出春秋曆各年的積月。下表給出計算結果，帶有星號的春秋曆年表示該年有閏月，表中還列出正月月建、正朔日干支、正朔公曆日期和正朔小餘。

有了積月後，春秋曆的計算便十分簡單，而表中除了正月月建有時要比較難決定外，其他各欄的數據也可用積月輕易計算，這裡以N_-649(魯僖公十年)作為例子說明。從表中得知N_-649的正月積月是890，所以合朔時刻離N_-721正朔辛巳日子正的時間是
[268/1027 + 890×(29 + 545/1027) ]日= (26282 + 574/1027)日
日數是26282、小餘574，小餘與表中數據吻合。日天干十日一週、日地支十二日一週，據此用同餘算術算得辛巳日後26282日的日干支是癸未，也與表中相符。公曆日期的計算可先由-721年至-649年的積日著手。公曆在1582年10月15日前用儒略曆，能被四整除的年份是閏年，有366日，其餘是平年，有365日。公元-721年至-649年有72年，其中有閏年的年份是-720年、-716年……-652年共18年，所以從-721年1月16日到-649年1月16日有(365×72 + 18)日=26298日=(26282+16)日，所以N_-649的正月初一在-649年1月16日之前16日，即-650年12月31日，亦與表中的數據一致。至於正月月建，按定義含冬至的月份為建子(參看干支網頁)，但是春秋曆沒有計算冬至的方法，當時是靠觀象測定，所以應接近當時實際的定氣冬至，根據氣朔時刻網頁，公元-650的冬至在12月28日^註一。正月初一在12月31日，在冬至後三日，顯然上一個月含冬至，是建子，所以正月的月建是建丑。

知道了N_-649的正月朔日日期和合朔小餘後，N_-649的其他月份的初一日期和合朔小餘只須把正月朔的時刻加上朔策的整數倍便可求得。N_-649沒有閏月，下表把正月至十二月的初一日期﹑干支和合朔小餘列出。

N_-649(魯僖公十年)的月份編排

月大月小由兩朔日之間的日期間隔決定，兩朔日相差二十九日為小月﹑三十日為大月。有了合朔小餘後，計算大小月便十分簡單。把合朔小餘加上545，然後視乎需要減去1027便得到下一個月的合朔小餘。如果某月的合朔小餘小於482，加上545後的數值不超過1027，就是說下一個朔日在二十九日後，所以該月是小月;如果某月的合朔小餘大於或等於482，加上545後便達到或起過1027，小餘要減去1027、日數要進一，就是說下一個朔日在三十日後，所以該月是大月。結論是合朔小餘小於482的月份是小月、否則是大月。用現在通行的24小時制來說或會較易理解，朔策是29日12小時44分10秒，所以每月的合朔離午夜零時的時間是前月的時間加上12小時44分10秒，達到或超過24時則減去24，合朔時間如果在11:15:50前，加了12小時44分10秒後仍小於24時，則此月是小月，合朔時間如果在11:15:50或之後則是大月。不難推出如果合朔小餘大於963就會出現連續兩個大月，但是按復原春秋曆的計算法不可能出現連續兩個小月。由於朔望月的日數稍大於29.5日，用平朔法制定的曆法不可能連續出現兩個小月。

我用推出的積月來反推正朔日干支和正月月建以核對《中国古代历法》表3-7的數據，結果大部份與表3-7所載的資料相符，但有五項數據與表列的不合，仔細分析後發現表3-7的那五項數據與表中正朔小餘的數字有矛盾，其中之一必定有錯，我認為表3-7的那五項數據應修改如下:

N_-720的錯誤較易處理。假如N_-721沒有閏月，N_-720的正朔小餘是646，與表3-7所列的一致，但日干支卻是乙亥;假如N_-721有閏月，N_-720的正朔小餘是164，與表列不符，而日干支是乙巳。所以無論N_-721有沒有閏月，N_-720的正朔日干支都不可能是己亥，己亥無疑是乙亥之誤。

比較N_-682和N_-681的正朔小餘，可知N_-682沒有閏月，N_-681的正月朔日是-682年11月25日，顯然在冬至之前，所以絕不可能是建丑。-682年的冬至在12月28日，離正月初一有33日，由此可知正月不可能含冬至，只能是建亥。-682年11月25日的日干支是己未，與表3-7所列的一致，但是建丑月朔的日干支也是己未，因此日干支與表3-7列出的月建沒有矛盾。可是假如正月的月建真是建丑，除了正朔小餘的數字不一致外，也意味著N_-682有十四個月，這就應該不可能了。所以把建丑改為建亥是合理的。

解決了N_-681的月建錯誤後，不難斷定N_-680的建寅月建也不正確。比較N_-681和N_-680的正月小餘推出N_-681有閏月，N_-680的正朔日在-681年12月14日，正月含冬至，是建子。正朔日干支是癸未，與表3-7的數據一致，而建寅月朔日干支是壬午，不合，正朔小餘的數值也不合。改建寅為建子後就沒有問題了。

表3-7列出N_-654的日干支是壬子，正朔小餘是675，N_-653的正朔小餘是26=mod(675+378, 1027)，由此推出N_-654沒有閏月。因此從N_-654正朔壬子日子正到N_-653正月朔的日數是
[675/1027 + 12×(29+545/1027)]日 = (355 + 26/1027)日
日數355﹑小餘26。壬子日355天後是丁未日，是丙午日之後一天。表列的丙午應是計算錯誤。

表3-7列出N_-624(魯文公二年)的正月月建是子，朔日是戊子(前626年12月25日)，小餘是551。如果N_-624沒有閏月，N_-623的正月朔是建子月壬午日(前625年12月13日)，小餘是929。如果N_-624有閏月，N_-623的正月朔是建丑月壬子日(前624年1月12日)，小餘是447。因此無論N_-624有沒有閏月，N_-623的正朔小餘都不是614，表3-7列出N_-623的正朔是建子月壬午日，所以小餘是929。

張培瑜著的《三千五百年历日天象》(大象出版社‧1997年7月)也有春秋曆表，其中N_-721﹑N_-681和N_-680的正月朔日與修改表3-7後的日期一致，但是該書列出的N_-675﹑N_-674﹑N_-600﹑N_-519和N_-502正月朔日與《中国古代历法》表3-7的數據相差一個月。這裡沒有採用《三千五百年历日天象》的數據，因為書中沒有說明計算方法，難以斷定是否有誤^註二。

目前學界對於春秋曆閏月的位置沒有一致意見，清末的王韜為了化解《春秋》記載的某些曆日干支與推算不符，在年中加插閏月解決分歧。張培瑜指出《春秋》僅有兩次閏月的記載皆書於年終，而且春秋曆沒有年中置閏的科學依據，主張閏月應是置於年終。本網站採用張培瑜的說法把閏月置於年終。

由於春秋曆沒有固定的置閏法則，其正月月建也不固定，而是在建亥與建寅之間罷動。從復原的春秋曆可看出早期的正月月建多在建丑、後期則多在建子。張培瑜推測魯國曆法家在後期漸漸掌握了十九年七閏和回歸年的規律，可能有意把年首從建丑調整到建子。到了戰國時代，魯國使用古六曆之一的魯曆，置閏有了固定法則，把年首固定在建子。

張培瑜復原的春秋曆法是根據《春秋》書中記載的曆日來推算朔策和閏月，其計算方法只能說是數據擬合的模型。合朔時刻用朔策的整數倍加曆元合朔時刻計算，符合平朔法則，但是用一個朔策來推算整個春秋242年的曆日，是假設曆法在這二百多年沒有更改過，似乎不大可能，但在缺乏資料的情況下，這做法也無可厚非。檢驗復原的春秋曆法可信程度可以從復原曆法與《春秋》記載的曆日差異來衡量。

據張培瑜在《中国古代历法》第三章第五節所述，《春秋》載有393個曆日干支，絕大多數都符合復原的春秋曆法，不符者有45條，其中有11條可用年中置閏的方法解決。《春秋》一書年代久遠，經過歷代多次傳抄後出現錯誤在所難免，而且現存《春秋》有些記錄據說確有不相容之處。有些差異當然可用「誤記」解決，但是難以判斷哪些資料屬誤記，哪些確是與復原曆法相悖。如果假設那45條確是復原曆法的不足，則復原曆法與春秋魯國的真實曆日可能有大約89%相符。再比較《中国古代历法》表3-7中復原曆法與王韜的《朔閏日至考》，得知兩者有時會有一個月的差別，這是兩人對於是否有年中閏月的觀點不同產生的。從這些資料我推測復原曆法雖然極可能與相時在魯國使用的實際曆法有差異，但差異可能不大，復原曆法對歷史學家極具參考價值。

上面展示的計算N_-649正月朔方法以N_-721正月朔辛巳日子正作為計算時間的起點，現代的曆日計算大多用儒略日數，其時間起點是-4712年1月1日正午。為方便起見，這裡把這時間起點當作魯國的地方時。N_-721正月朔辛巳日子正的儒略日數是1457727.5，所以把上面例子N_-649正月朔的積日加上1457727.5便是儒略日數。

儒略日數的好處是已有標準方法把儒略日數轉換成公曆日期，本網站的干支網頁也有用儒略日數計算日干支的公式。其實如果只是計算春秋曆，用儒略日數並不比上面展示的方法簡單。公曆的日期編排規整，即使不用標準的儒略日數轉公曆日期的方法也不難自創方法計算。但是如果要編程序計算春秋曆、古六曆和秦漢曆法時，用儒略日數就較為方便，因為各種曆法有各自的時間起算點，轉換成儒略日數就是把時間起算點統一在-4712年1月1日正午，就可以用統一的方法計算公曆日期和日干支等，這在編寫程序上很有用。

這裡介紹用儒略日數計算春秋曆的方法。上面公式(1)的合朔時刻可用以下儒略日數 表示。
JD(M_i) = 1457727.5 + 268/1027 + i(29 + 545/1027)     (5)
這裡又以N_-649的正月朔為例，從上表得知該年正月朔的積月是890，代入公式(5)求得儒略日數是
JD = 1457727.5 + 268/1027 + 890× (29 + 545/1027) = 1484009.5 + 574/1027
正朔日子正的儒略日數是1484009.5，正朔小餘是574。朔日正午的儒略日數是1484010，用儒略日轉公曆的標準方法(例如理查斯算法)算出儒略日1484010對應的公曆日期是-650年12月31日。用干支網頁的公式求得朔日的天干數是
1 + mod(1484010-1, 10) = 10，日天干是癸;朔日的地支數是
1 + mod(1484010+1, 12) = 8，日地支是末，所以朔日干支是癸末。所有結果都與上面的計算吻合。

以上的計算保留以1027為分母的分數。現代的計算多用電子計算機，在計算上分數其實是較為快捷的，在編寫計算機程式上處理分數運算卻較為費時，所以用浮點計算雖然稍為降低了計算效率，但在編程式上比較簡單，而且現代的電子計算機計算速度相當快，根本不會察覺微小的效率降低。但是有一點要注意:當合朔小餘是0時，合朔發生在子正，儒略日數的小數部分是0.5，但是計算機的浮點舍入誤差或會使儒略日數的小數部分變成0.49999999999，這會使日期計算有一日之差。為了避免這誤差，可把公式(5)的儒略日數加上0.0001，即用以下公式計算合朔時刻:
JD(M_i) = 1457727.761054236 + i · 29.53067185978578      (6)
由於0.0001 = 0.1027/1027，加了0.0001後使合朔小餘從本來的0和1026之間變成0.1027到1026.1027。因為小餘的最小值不會是0，浮點舍入誤差便不會使日期有偏差了。用十進制小數計算時刻，不再須要理會小餘，但是如果要計算也可以:
小餘(略去分母1027) = floor(1027(JD + 0.5 - floor(JD + 0.5))     (7)
這裡floor(x)表示不大於x的最大整數。JD + 0.5 - floor(JD + 0.5)是小餘以十進制小數表示，乘1027後便是小餘的分子，由於加了0.0001，乘後所得的數是某整數加上0.1027，最後floor()把小數部份刪除，便得到略去分母1027的小餘。如前述，用浮點計算就不必理會小餘，計算小餘的唯一價值是用來比較《中国古代历法》表3-7的數據，從而檢驗計算程序是否正確。

備 註

• [註一] 儒略曆年份的平均日數是365.25日，比回歸年365.2422日長0.0078日，累積128年就會有一日偏差，所以冬至在儒略曆的日期不斷提前。格里高里曆年份的平均日數是365.2425日，積三千年才會有一日偏差，所以現在冬至的公曆日期與1582年曆改後的日期一致，約在12月21日左右。1582年的曆改把10月4日的下一日定為10月15日，跳了十日，所以改曆前的冬至日期大約在12月11日左右。1582年與-650年相差2232年，冬至日期提前了0.0078×2232日=17.4日，所以-650年的冬至日期在12月28日左右。

• [註二] 該書N_-675和N_-674的數據十分可疑。如果書中所列是真的話，N_-677﹑N_-676和N_-675連續三年都有閏月，其後六年卻沒有閏月。我沒有研究過春秋曆，不敢說這樣不尋常的閏月編排絕無可能，但是覺得《中国古代历法》表3-7的數據較為可信。