春 秋 鲁 国 历 法 的 复 原 方 法

初稿: 2019年3月

远古时期，中国的历法根据观测天象而制定，到了春秋时期(公元前722年–前481年)，人们初步掌握了计算月相的方法，开始推步历法。春秋时期各国施行不同历法，可惜这些历法全部散失，现在我们只能从《春秋》这部由孔子修订的鲁国编年史书中获得当时鲁国施行历法的不完整资料，这里称当时鲁国的历法为春秋历。

本网页介绍春秋历的一个复原方法，这方法是根据张培瑜、陈美东、薄树人和胡铁珠著的《中国古代历法》(中国科学出版社‧北京‧2008年3月)书中第三章第五节的资料。该书的前言说书中各章节由四人分别执笔，第三章由张培瑜撰写。张培瑜是中国科学院紫金山天文台的研究员。

根据张培瑜的考证，春秋历的朔策(即朔望月)在29.5306703日和29.5306755日之间，计算时可用30328/1027日 = (29 + 545/1027)日 = 29.53067186日。此朔策与当时的朔望月平均值(29.530583日)颇为接近，比战国时代古六历的朔策(29+499/940)更准，累积九百年才会有一日之差。唐朝以前的历法都以平朔法计算合朔时刻，即假设太阳和月球以均匀的速度在天空运行。所以只要知道了其中一个合朔时刻，其他合朔时刻只须加上朔策的整数倍即可求得。

根据张培瑜的春秋历还原法，春秋历推算鲁隐公元年(公元前722年)正月初一的朔日在冬至之后的第一个辛巳日，合朔时刻离辛巳日子正(即午夜零时)有268/1027日。用公历和现在的时间系统表示，这个推算时刻是公元前722年1月16日06:16。当时不知道各地有各自地方时，所以这时刻可视为鲁国当地(山东曲阜)的地方时。古代计算不用十进制小数，日的小数部分(奇零)以分数表示称为小余。因此268/1027就是这个朔的小余，由于此朔对应正月初一，可称为正朔小余。小余也可视为合朔在当日的时间以日的分数表示，用现行的24小时制，小余268/1027就是6:15:46(6时15分46秒)。根据平朔法，下一个合朔时刻离辛巳日子正有(268/1027 + 29 + 545/1027)日=(29 + 813/1027)日，所以二月朔离辛巳日子正的日数是29、小余813，此后提及小余时略去分母1027。用同余算术很容易求得二月初一的日干支:天干十日一周期，29 = 30 - 1，所以辛巳日29日后的日干是辛之前的天干，即庚;地支十二日一周期，29除以12余5，巳之后的第五个地支是戌;所以二月初一的日干支是庚戌。公历日期也容易计算:1月(16+29)日 = 2月(16+29-31)日 = 2月14日。

春秋历的合朔时刻可用以下公式表示:

M_i = M₀ + i (29 + 545/1027)日     (1)

此处M₀是某一合朔时刻，可以定为鲁隐公元年的正月朔时刻，i是从M₀算起的朔望月数。

为方便成见，此处用N_Y表示正月初一最接近公历Y年1月1日的春秋历年份。例如N_-721指鲁隐公元年，始于公元-721年(即前722年)1月16日、终于-720年1月4日。如果知道了从鲁隐公元年的正月到某春秋历年N_y正月的累积月数A(y)，则N_y正月合朔时刻Z(y)是

Z(y) = M₀ + A(y) (29 + 545/1027)日    (2)

只要知道积月A(y)，春秋历年N_y的正月初一便求得，N_y的其他月份也可轻易计算。积月A(y)可用递归公式计算:如果N_y没有闰月，则N_y+1正月的积月是A(y+1)=A(y)+12;如果N_y有闰月，则N_y+1正月的积月是A(y+1)=A(y)+13。按定义A(-721)=0，所以如果知道春秋历所有的闰月资料就可以计算各年的日历。

春秋历并没有固定的置闰法则，当时是靠观测天象与日历的差异来决定该年是否要设闰月，春秋历的闰月情况现在只能从《春秋》书中的日期记载推断。张培瑜根据前人和自己的研究制定了春秋历各年的正朔表，载于《中国古代历法》表3-7。表中载有作者还原春秋历的正月月建、正朔日干支、正朔小余和冬至日期，此外还列出清末历算家王韬《朔闰日至考》的春秋历正朔以资比较。比较表中的正朔日干支可推出该年是否有闰月，但这样做比较费时，较简单的方法是比较表中列出的正朔小余。

如前述，正朔小余是正月合朔离朔日子正的时间用分数日来表示，其中基数(即分母)1027往往略去。如果N_y没有闰月，N_y的正朔小余K(y)与下一年N_y+1的正朔小余K(y+1)有以下关系:
K(y+1) = mod(K(y) + 12×545, 1027) = mod(K(y) + 378, 1027)    (3)
如果N_y有闰月，则
K(y+1) = mod(K(y) + 13×545, 1027) = mod(K(y) - 104, 1027)    (4)

这里mod(X, Y)指X除以Y后所得之余数。利用这两条公式来比较表中的正朔小余，便可轻易推出该年是否有闰月，然后用A(y)的递归公式算出春秋历各年的积月。下表给出计算结果，带有星号的春秋历年表示该年有闰月，表中还列出正月月建、正朔日干支、正朔公历日期和正朔小余。

有了积月后，春秋历的计算便十分简单，而表中除了正月月建有时要比较难决定外，其他各栏的数据也可用积月轻易计算，这里以N_-649(鲁僖公十年)作为例子说明。从表中得知N_-649的正月积月是890，所以合朔时刻离N_-721正朔辛巳日子正的时间是
[268/1027 + 890×(29 + 545/1027) ]日= (26282 + 574/1027)日
日数是26282、小余574，小余与表中数据吻合。日天干十日一周、日地支十二日一周，据此用同余算术算得辛巳日后26282日的日干支是癸未，也与表中相符。公历日期的计算可先由-721年至-649年的积日着手。公历在1582年10月15日前用儒略历，能被四整除的年份是闰年，有366日，其余是平年，有365日。公元-721年至-649年有72年，其中有闰年的年份是-720年、-716年……-652年共18年，所以从-721年1月16日到-649年1月16日有(365×72 + 18)日=26298日=(26282+16)日，所以N_-649的正月初一在-649年1月16日之前16日，即-650年12月31日，亦与表中的数据一致。至于正月月建，按定义含冬至的月份为建子(参看干支网页)，但是春秋历没有计算冬至的方法，当时是靠观象测定，所以应接近当时实际的定气冬至，根据气朔时刻网页，公元-650的冬至在12月28日^注一。正月初一在12月31日，在冬至后三日，显然上一个月含冬至，是建子，所以正月的月建是建丑。

知道了N_-649的正月朔日日期和合朔小余后，N_-649的其他月份的初一日期和合朔小余只须把正月朔的时刻加上朔策的整数倍便可求得。N_-649没有闰月，下表把正月至十二月的初一日期、干支和合朔小余列出。

N_-649(鲁僖公十年)的月份编排

月大月小由两朔日之间的日期间隔决定，两朔日相差二十九日为小月、三十日为大月。有了合朔小余后，计算大小月便十分简单。把合朔小余加上545，然后视乎需要减去1027便得到下一个月的合朔小余。如果某月的合朔小余小于482，加上545后的数值不超过1027，就是说下一个朔日在二十九日后，所以该月是小月;如果某月的合朔小余大于或等于482，加上545后便达到或起过1027，小余要减去1027、日数要进一，就是说下一个朔日在三十日后，所以该月是大月。结论是合朔小余小于482的月份是小月、否则是大月。用现在通行的24小时制来说或会较易理解，朔策是29日12小时44分10秒，所以每月的合朔离午夜零时的时间是前月的时间加上12小时44分10秒，达到或超过24时则减去24，合朔时间如果在11:15:50前，加了12小时44分10秒后仍小于24时，则此月是小月，合朔时间如果在11:15:50或之后则是大月。不难推出如果合朔小余大于963就会出现连续两个大月，但是按复原春秋历的计算法不可能出现连续两个小月。由于朔望月的日数稍大于29.5日，用平朔法制定的历法不可能连续出现两个小月。

我用推出的积月来反推正朔日干支和正月月建以核对《中国古代历法》表3-7的数据，结果大部分与表3-7所载的资料相符，但有五项数据与表列的不合，仔细分析后发现表3-7的那五项数据与表中正朔小余的数字有矛盾，其中之一必定有错，我认为表3-7的那五项数据应修改如下:

N_-720的错误较易处理。假如N_-721没有闰月，N_-720的正朔小余是646，与表3-7所列的一致，但日干支却是乙亥;假如N_-721有闰月，N_-720的正朔小余是164，与表列不符，而日干支是乙巳。所以无论N_-721有没有闰月，N_-720的正朔日干支都不可能是己亥，己亥无疑是乙亥之误。

比较N_-682和N_-681的正朔小余，可知N_-682没有闰月，N_-681的正月朔日是-682年11月25日，显然在冬至之前，所以绝不可能是建丑。-682年的冬至在12月28日，离正月初一有33日，由此可知正月不可能含冬至，只能是建亥。-682年11月25日的日干支是己未，与表3-7所列的一致，但是建丑月朔的日干支也是己未，因此日干支与表3-7列出的月建没有矛盾。可是假如正月的月建真是建丑，除了正朔小余的数字不一致外，也意味着N_-682有十四个月，这就应该不可能了。所以把建丑改为建亥是合理的。

解决了N_-681的月建错误后，不难断定N_-680的建寅月建也不正确。比较N_-681和N_-680的正月小余推出N_-681有闰月，N_-680的正朔日在-681年12月14日，正月含冬至，是建子。正朔日干支是癸未，与表3-7的数据一致，而建寅月朔日干支是壬午，不合，正朔小余的数值也不合。改建寅为建子后就没有问题了。

表3-7列出N_-654的日干支是壬子，正朔小余是675，N_-653的正朔小余是26=mod(675+378, 1027)，由此推出N_-654没有闰月。因此从N_-654正朔壬子日子正到N_-653正月朔的日数是
[675/1027 + 12×(29+545/1027)]日 = (355 + 26/1027)日
日数355、小余26。壬子日355天后是丁未日，是丙午日之后一天。表列的丙午应是计算错误。

表3-7列出N_-624(鲁文公二年)的正月月建是子，朔日是戊子(前626年12月25日)，小余是551。如果N_-624没有闰月，N_-623的正月朔是建子月壬午日(前625年12月13日)，小余是929。如果N_-624有闰月，N_-623的正月朔是建丑月壬子日(前624年1月12日)，小余是447。因此无论N_-624有没有闰月，N_-623的正朔小余都不是614，表3-7列出N_-623的正朔是建子月壬午日，所以小余是929。

张培瑜著的《三千五百年历日天象》(大象出版社‧1997年7月)也有春秋历表，其中N_-721、N_-681和N_-680的正月朔日与修改表3-7后的日期一致，但是该书列出的N_-675、N_-674、N_-600、N_-519和N_-502正月朔日与《中国古代历法》表3-7的数据相差一个月。这里没有采用《三千五百年历日天象》的数据，因为书中没有说明计算方法，难以断定是否有误^注二。

目前学界对于春秋历闰月的位置没有一致意见，清末的王韬为了化解《春秋》记载的某些历日干支与推算不符，在年中加插闰月解决分歧。张培瑜指出《春秋》仅有两次闰月的记载皆书于年终，而且春秋历没有年中置闰的科学依据，主张闰月应是置于年终。本网站采用张培瑜的说法把闰月置于年终。

由于春秋历没有固定的置闰法则，其正月月建也不固定，而是在建亥与建寅之间罢动。从复原的春秋历可看出早期的正月月建多在建丑、后期则多在建子。张培瑜推测鲁国历法家在后期渐渐掌握了十九年七闰和回归年的规律，可能有意把年首从建丑调整到建子。到了战国时代，鲁国使用古六历之一的鲁历，置闰有了固定法则，把年首固定在建子。

张培瑜复原的春秋历法是根据《春秋》书中记载的历日来推算朔策和闰月，其计算方法只能说是数据拟合的模型。合朔时刻用朔策的整数倍加历元合朔时刻计算，符合平朔法则，但是用一个朔策来推算整个春秋242年的历日，是假设历法在这二百多年没有更改过，似乎不大可能，但在缺乏资料的情况下，这做法也无可厚非。检验复原的春秋历法可信程度可以从复原历法与《春秋》记载的历日差异来衡量。

据张培瑜在《中国古代历法》第三章第五节所述，《春秋》载有393个历日干支，绝大多数都符合复原的春秋历法，不符者有45条，其中有11条可用年中置闰的方法解决。《春秋》一书年代久远，经过历代多次传抄后出现错误在所难免，而且现存《春秋》有些记录据说确有不相容之处。有些差异当然可用「误记」解决，但是难以判断哪些资料属误记，哪些确是与复原历法相悖。如果假设那45条确是复原历法的不足，则复原历法与春秋鲁国的真实历日可能有大约89%相符。再比较《中国古代历法》表3-7中复原历法与王韬的《朔闰日至考》，得知两者有时会有一个月的差别，这是两人对于是否有年中闰月的观点不同产生的。从这些资料我推测复原历法虽然极可能与相时在鲁国使用的实际历法有差异，但差异可能不大，复原历法对历史学家极具参考价值。

上面展示的计算N_-649正月朔方法以N_-721正月朔辛巳日子正作为计算时间的起点，现代的历日计算大多用儒略日数，其时间起点是-4712年1月1日正午。为方便起见，这里把这时间起点当作鲁国的地方时。N_-721正月朔辛巳日子正的儒略日数是1457727.5，所以把上面例子N_-649正月朔的积日加上1457727.5便是儒略日数。

儒略日数的好处是已有标准方法把儒略日数转换成公历日期，本网站的干支网页也有用儒略日数计算日干支的公式。其实如果只是计算春秋历，用儒略日数并不比上面展示的方法简单。公历的日期编排规整，即使不用标准的儒略日数转公历日期的方法也不难自创方法计算。但是如果要编程序计算春秋历、古六历和秦汉历法时，用儒略日数就较为方便，因为各种历法有各自的时间起算点，转换成儒略日数就是把时间起算点统一在-4712年1月1日正午，就可以用统一的方法计算公历日期和日干支等，这在编写程序上很有用。

这里介绍用儒略日数计算春秋历的方法。上面公式(1)的合朔时刻可用以下儒略日数 表示。
JD(M_i) = 1457727.5 + 268/1027 + i(29 + 545/1027)     (5)
这里又以N_-649的正月朔为例，从上表得知该年正月朔的积月是890，代入公式(5)求得儒略日数是
JD = 1457727.5 + 268/1027 + 890×(29 + 545/1027) = 1484009.5 + 574/1027
正朔日子正的儒略日数是1484009.5，正朔小余是574。朔日正午的儒略日数是1484010，用儒略日转公历的标准方法(例如理查斯算法)算出儒略日1484010对应的公历日期是-650年12月31日。用干支网页的公式求得朔日的天干数是
1 + mod(1484010-1, 10) = 10，日天干是癸;朔日的地支数是
1 + mod(1484010+1, 12) = 8，日地支是末，所以朔日干支是癸末。所有结果都与上面的计算吻合。

以上的计算保留以1027为分母的分数。现代的计算多用电子计算机，在计算上分数其实是较为快捷的，在编写计算机程式上处理分数运算却较为费时，所以用浮点计算虽然稍为降低了计算效率，但在编程式上比较简单，而且现代的电子计算机计算速度相当快，根本不会察觉微小的效率降低。但是有一点要注意:当合朔小余是0时，合朔发生在子正，儒略日数的小数部分是0.5，但是计算机的浮点舍入误差或会使儒略日数的小数部分变成0.49999999999，这会使日期计算有一日之差。为了避免这误差，可把公式(5)的儒略日数加上0.0001，即用以下公式计算合朔时刻:
JD(M_i) = 1457727.761054236 + i · 29.53067185978578      (6)
由于0.0001 = 0.1027/1027，加了0.0001后使合朔小余从本来的0和1026之间变成0.1027到1026.1027。因为小余的最小值不会是0，浮点舍入误差便不会使日期有偏差了。用十进制小数计算时刻，不再须要理会小余，但是如果要计算也可以:
小余(略去分母1027) = floor(1027(JD + 0.5 - floor(JD + 0.5))     (7)
这里floor(x)表示不大于x的最大整数。JD + 0.5 - floor(JD + 0.5)是小余以十进制小数表示，乘1027后便是小余的分子，由于加了0.0001，乘后所得的数是某整数加上0.1027，最后floor()把小数部分删除，便得到略去分母1027的小余。如前述，用浮点计算就不必理会小余，计算小余的唯一价值是用来比较《中国古代历法》表3-7的数据，从而检验计算程序是否正确。

备 注

• [注一] 儒略历年份的平均日数是365.25日，比回归年365.2422日长0.0078日，累积128年就会有一日偏差，所以冬至在儒略历的日期不断提前。格里高里历年份的平均日数是365.2425日，积三千年才会有一日偏差，所以现在冬至的公历日期与1582年历改后的日期一致，约在12月21日左右。1582年的历改把10月4日的下一日定为10月15日，跳了十日，所以改历前的冬至日期大约在12月11日左右。1582年与-650年相差2232年，冬至日期提前了0.0078×2232日=17.4日，所以-650年的冬至日期在12月28日左右。

• [注二] 该书N_-675和N_-674的数据十分可疑。如果书中所列是真的话，N_-677、N_-676和N_-675连续三年都有闰月，其后六年却没有闰月。我没有研究过春秋历，不敢说这样不寻常的闰月编排绝无可能，但是觉得《中国古代历法》表3-7的数据较为可信。